دیدگاه خود را بنویسید
آدرس ایمیل شما نمایش داده نخواهد شد
محاسبه معکوس ماتریس n*nآنلاین
محاسبه معکوس ماتریس در بیشتر موارد با هدف حل دستگاه معادلات چند مجهولی خطی انجام می‌شود. معکوس ماتریس یا ماتریس وارون ماتریسی است نتیجه ضرب آن در ماتریس اصلی، یک ماتریس یکانی باشد. برای محاسبه معکوس ماتریس n*n، یک روش کلی و تحلیلی وجود دارد. این روش به‌صورت بازگشتی عمل کرده، و از مقدار دترمینان استفاده می‌کند.
محاسبه معکوس ماتریس 4*4، 3*3 و 2*2 شاید کار چندان دشواری نباشد، اما به‌دست آوردن ماتریس وارون برای مراتب بالاتر به‌صورت دستی به‌شدت دشوار و پیچیده می‌شود. به همین دلیل، اغلب افراد از ابزارهای محاسبه معکوس ماتریس آنلاین استفاده می‌کنند.
ابزار محاسبه‌کننده معکوس ماتریس آنلاین «مرکزش» به شما کمک می‌کند تا این عدد را بدون کوچکترین محاسبه به‌دست آورید. برای آشنایی بیشتر با ماتریس وارون و نحوه کار با ابزار محاسبه معکوس ماتریس آنلاین، ادامه این مطلب را مطالعه کنید.
تعریف معکوس ماتریس یا ماتریس وارون
همان‌طور که می‌دانید، ماتریس یک آرایه مربعی (در اصل مستطیلی) از اعداد مختلف است که در یک یا چند سطر و ستون قرار گرفته‌اند. در برخی عملیات‌هایی که روی ماتریس‌ها انجام می‌دهیم، به‌عنوان مثال تقسیم دو ماتریس بر یکدیگر یا دترمینان ماتریس، لازم است تا محاسبه معکوس ماتریس را نیز انجام دهیم. اما ماتریس وارون دقیقا چیست؟
از یک مثال استفاده می‌کنیم. می‌دانیم که معکوس هر عدد از تقسیم 1 بر آن به دست می‌آید. مثلا معکوس عدد 5 برابر با 5/1 است. معکوس ماتریس X (Inverse Matrix) هم همین حالت را دارد، اما آن را با X-1 نشان می‌دهیم و نه X/1؛ زیرا ماتریس قابل‌تقسیم به این شکل نیست.
اگر نتیجه‌ای که از محاسبه معکوس ماتریس n*nبه‌دست می‌آورید را در ماتریس اصلی ضرب کنید، «ماتریس همانی»، «ماتریس یکه» یا «ماتریس یکانی» (Identity Matrix) را به‌دست می‌آورید که با حرف I نشان داده می‌شود. در دنیای ماتریس‌ها، ماتریس همانی مانند عدد 1 است. در این ماتریس، درایه‌های روی قطر اصلی معادل 1 و باقی درایه‌ها صفر هستند.
کاربرد محاسبه معکوس ماتریس آنلاین
در بخش قبل هم اشاره کردیم که ماتریس‌ها قابل‌تقسیم نیستند. اما به جای اینکار، می‌توانیم ماتریس وارون در طرفین یک رابطه ضرب کنیم. البته هنگامی که اینکار را انجام می‌دهید، به ترتیب محاسبات دقت کنید.
هنگام ضرب دو یا چند ماتریس در صورتی که ترتیب ماتریس‌ها تغییر کند، پاسخ نهایی نیز عوض خواهد شد. پس به‌خاطر داشته باشید که خاصیت جا‌به‌جایی در مورد این آرایه‌ها صدق نمی‌کند، و پاسخ AX تقریبا هیچوقت با XA برابر نیست.
همچنین توجه داشته باشید که محاسبه معکوس ماتریس آنلاین برای همه ماتریس‌ها ممکن نبوده، و برخی ماتریس‌ها اصلا وارون ندارند. اما ماتریس وارون در چه مواردی بی‌معناست؟ زمانی که ماتریس مربعی نباشد، و یا دترمینان آن برابر با صفر باشد (ماتریس منفرد یا Singular).
راهنمای ابزار معکوس ماتریس آنلاین
گفتیم که به دلیل طولانی بودن روند محاسبه معکوس ماتریس n*n(مخصوصا اگر n برابر و یا بزرگتر از 4 باشد)، عموما از یک نرم‌افزار برای به‌دست آوردن ماتریس وارون استفاده می‌شود. البته با استفاده از ابزار محاسبه معکوس ماتریس آنلاین وبسایت «مرکزش» این چالش کاملا رفع شده، و به دست آوردن وارون هر ماتریسی به یک روند سریع و آسان تبدیل می‌شود.
برای محاسبه معکوس ماتریس n*nبا این ابزار، ابتدا باید تعداد سطرهای ماتریس (همان مرتبه آن) را در کادر وارد، و روی دکمه «ساخت ماتریس» کلیک کنید. مثلا اگر می‌خواهید دترمینان یک ماتریس مرتبه چهار را محاسبه کنید، عدد 4 را در کادر بزنید.
پس از ایجاد ماتریس، سطرها و ستون‌ها را با اعداد مدنظر پر کنید. پس از پر کردن درایه‌ها با عدد متناظر و تکمیل ماتریس، کافی است روی کلید «ساخت معکوس ماتریس» کلیک کنید تا محاسبه انجام، و نتیجه به شما نمایش داده شود.
یادآوری می‌کنیم که ابزار محاسبه معکوس ماتریس آنلاین مرکزش محدودیتی برای مرتبه ماتریس ندارد. اما به دلیل محدودیت نمایشگر‌ها؛ ممکن است شکل مربعی ماتریس در مرتبه‌های بالا کمی بهم بریزد.
ویژگی‌های ماتریس معکوس
شرایط معکوس‌پذیری یک ماتریس را در قسمت‌های قبل توضیح دادیم. در ادامه با ویژگی‌های خاص ماتریس وارون آشنا می‌شویم:
- معکوس ماتریس قطری خود نیز یک ماتریس قطری است.
- درایه‌های قطر اصلی معکوس ماتریس قطری برابر با وارون درایه‌های قطر اصلی متناظر در ماتریس اصلی است. یعنی اگر در ماتریس قطری X مقدار درایه سطر i و ستون i برابر با k باشد، مقدار درایه سطر i و ستون i ماتریس معکوس برابر با مقدار وارون k (یک تقسیم برk ) است.
- معکوس هر ماتریس بالا مثلثی یک ماتریس بالا مثلثی، و معکوس هر پایین مثلثی یک ماتریس پایین مثلثی است.
- اگر در یک ماتریس بالا مثلثی (و یا پایین مثلثی) درایه سطر i و ستون i برابر با k باشد آنگاه مقدار درایه سطر i و ستون i ماتریس معکوس برابر با وارون k (یک تقسیم بر k) است.