دیدگاه خود را بنویسید
آدرس ایمیل شما نمایش داده نخواهد شد
محاسبه بزرگترین مقسوم علیه مشترک یا همان ب م م مانند محاسبه کوچکترین مضرب مشترک یا ک م م کاربرد فراوانی در ریاضی و حل مسائل مختلف دارد. بدست آوردن ب م م دو عدد کوچک چالش خاصی ندارد، اما محاسبه ب.م.م چند عدد بزرگ می‌تواند کاری وقت‌گیر باشد. برای محاسبه بزرگترین مقسوم علیه مشترک می‌توانید از ابزار موجود در همین صفحه استفاده کنید.
جعبه ابزار آنلاین «مرکزش» امکان محاسبه ب م م اعداد مختلف بدون محدودیت را فراهم کرده است. برای بدست آوردن ب م م اعداد مدنظرتان را وارد کنید (آنها را با کاما از یکدیگر جدا کنید)، و با یک کلیک پاسخ را ببینید. در ادامه توضیح داده‌ایم که ب م م چیست، چه کاربردی دارد، و محاسبه آن چگونه است.
بزرگترین مقسوم علیه مشترک یا ب م م چیست؟
برای اینکه بهتر درک کنیم ب م م چیست، باید با مفهوم «مقسوم علیه» یا «عامل» کاملا آشنا باشیم. در ریاضیات، مقسوم علیه یا عامل به عددی می‌گویند که عددی دیگر بر آن تقسیم شده است. یعنی عامل‌ها اعدادی هستند که می‌توانیم آنها را در هم ضرب کنیم و یک عدد دیگر را به دست آوریم. به عنوان مثال، عامل‌های عدد 15، اعداد 3 و 5 هستند.
هر عدد مقسوم علیه‌های مختلفی دارد. مثلا مقسوم علیه‌های عدد 14، اعداد 1، 2، 7 و 14 هستند. زیرا:
14 = 2 * 7
14 = 1 * 14
مقسوم علیه‌های مشترک دو/چند عدد صحیح، مقسوم علیه‌ها یا عواملی هستند که در هر دو/چند عدد مشترک باشند. به همین ترتیب، بزرگترین مقسوم علیه مشترک (Greatest Common Divisor یا GCD) یا ب م م، بزرگترین عدد طبیعی بین مقسوم علیه‌های مشترک دو یا چند عدد است.
مثال: ب م م دو عدد 75 و 15 را بدست آورید.
· مقسوم علیه‌های مشترک 75: 1، 3، 5، 15، 25، 75
· مقسوم علیه‌های مشترک 15: 1، 3، 5، 15
همان‌طور که ملاحظه می‌کنید، مقسوم علیه‌های مشترک 15 و 75 اعداد 1، 3، 5 و 15 است. ب م م آنها نیز 15 است.
نکته: بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد a و b به صورت (GCD (a, b نوشته می‌شود؛ برای مثال 15 = (15، 75) GCD.
کاربرد ب م م در ریاضی چیست؟
یکی از شناخته‌شده‌ترین کاربردهای بدست آوردن بزرگترین مقسوم علیه مشترک، ساده کردن کسر است. مثلا کسر 15/75 را درنظر بگیرید. همان‌طور که در مثال دیدیم، ب.م.م برابر است با 15. با تقسیم صورت و مخرج به این عدد، کسر ساده می‌شود و به صورت 1/5 درمی‌آید.
روش بدست آوردن ب م م
برای محاسبه بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو روش وجود دارد. البته همواره از روش دستی (مانند مثال بالا) نیز می‌توان استفاده کرد.
محاسبه ب م م به روش تجزیه به عوامل اول
برای محاسبه ب م م دو عدد (یا چند عدد) می‌توانیم آنها را به عوامل اول‌شان تجزیه کرد. ب.م.م آنها برابر خواهد بود با حاصل‌ضرب عوامل مشترک آنها با توان کوچک‌تر. مثال می‌زنیم:
- فرض کنید می‌خواهیم بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد 15 و 75 را به دست آوریم:
75 = 5 * 5 * 3 = 52 * 3
15 = 5 * 3
بنابراین، نتیجه می‌گیریم که 15 = (15، 75) GCD؛ زیرا عوامل مشترک با توان کوچک‌تر 31 و 51 هستند.
محاسبه ب م م به روش اقلیدسی (تقسیم متوالی)
راه ساده‌تر بدست آوردن ب م م، استفاده از روش اقلیدسی است. برای محاسبه بزرگترین مقسوم علیه مشترک در این حالت، ابتدا باقیمانده تقسیم عدد بزرگ‌تر بر عدد کوچک‌تر را محاسبه می‌کنیم. اگر باقیمانده صفر شد، ب م م عدد کوچک‌تر است. در غیر این صورت، ب م م دو عدد برابر است با آخرین باقیمانده غیر صفر. مثال می‌زنیم:
- فرض کنید می‌خواهیم ب م م دو عدد 75 و 12 را بدست آوریم:
ابتدا 75 را به 12 تقسیم می‌کنیم؛ خارج قسمت تقسیم 6 و باقیمانده 3 بدست می‌آید. سپس 12 را بر 3 تقسیم می‌کنیم؛ خارج قسمت 4 و باقیمانده 3 بدست می‌آید. حالا مجددا 3 را بر 3 تقسیم می‌کنیم، خارج قسمت 1 و باقیمانده 0 بدست می‌آید. آخرین باقیمانده غیر صفر و ب م م دو عدد برابر است با عدد 3.
خاصیت‌های مهم ب.م.م
· هر مقسوم علیه دو عدد a و b، مقسوم علیه ب م م آنها نیز است.
· مقسوم علیه دو عدد a و صفر، برابر است با قدر مطلق a.
· ب م م دارای خاصیت جابجایی و شرکت‌پذیری است.
محاسبه بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنلاین
برای بدست آوردن ب م م دو عدد یا چند عدد به صورت آنلاین و بدون نیاز به محاسبه، می‌توانید از جعبه ابزار آنلاین «مرکزش» کمک بگیرید. کافی‌ست اعداد مدنظرتان را در قسمت مشخص‌شده وارد کنید، آنها را با کاما از یکدیگر جدا کنید، و روی دکمه «محاسبه» بزنید. ب م م اعدادی که وارد کرده‌اید، بلافاصله به شما نمایش داده می‌شود.